基于RLS的自适应滤波器设计与Matlab实现

引言

自适应滤波器在信号处理领域具有重要应用，包括系统辨识、噪声消除和信道均衡等。递归最小二乘（RLS）算法因其快速收敛特性成为经典自适应算法之一。本文详细介绍RLS算法原理，并给出Matlab实现示例。

一、RLS算法原理

1.1 算法核心思想

RLS算法通过最小化加权误差平方和来更新滤波器系数：

其中λ为遗忘因子（0 < λ ≤ 1），e(n)为瞬时误差。

1.2 关键递推公式

其中：

w(n)为滤波器系数向量
u(n)为输入信号向量
P(n)为输入信号逆相关矩阵
k(n)为增益向量

二、RLS算法实现步骤

初始化滤波器系数w(0)和P(0)
对每个时刻n：
a. 采集新输入u(n)和期望信号d(n)
b. 计算先验误差：e(n)=d(n)−wH(n−1)u(n)
c. 更新增益向量k(n)
d. 更新滤波器系数w(n)
e. 更新逆相关矩阵P(n)

三、Matlab实现示例

% RLS自适应滤波器设计（正弦信号加噪声）

% 设置参数
N = 1000;               % 输入信号长度
M = 30;                % 滤波器的阶数
lambda = 0.99;         % 衰减因子
delta = 1e-3;          % 初始协方差矩阵对角线元素
f = 0.05;              % 正弦信号的频率
SNR = 10;              % 信噪比（dB）

% 生成正弦信号
t = (0:N-1)';          % 时间向量
x_sine = sin(2 * pi * f * t);  % 正弦信号

% 添加噪声
noise = randn(N, 1);   % 高斯噪声
x = x_sine + noise / norm(noise) * norm(x_sine) / 10^(SNR / 20);  % 按照指定信噪比添加噪声

% 期望信号（设定为理想正弦信号，模拟滤波目标）
d = x_sine;

% 初始化RLS算法
w = zeros(M, 1);       % 滤波器系数初始值
P = delta * eye(M);    % 协方差矩阵初始化
y = zeros(N, 1);       % 滤波器输出
e = zeros(N, 1);       % 误差信号

% RLS算法
for n = M:N
    % 获取当前输入信号窗口
    x_n = x(n:-1:n-M+1);  % 长度为M的输入信号窗口
    % 计算滤波器输出
    y(n) = w' * x_n;
    % 计算误差
    e(n) = d(n) - y(n);
    
    % 计算增益向量
    k = P * x_n / (lambda + x_n' * P * x_n);
    
    % 更新滤波器系数
    w = w + k * e(n);
    
    % 更新协方差矩阵
    P = (P - k * x_n' * P) / lambda;
end

% 绘制结果
figure;

% 原始信号和加噪声信号对比
subplot(3, 1, 1);
plot(t, x_sine, 'b'); hold on;
plot(t, x, 'r');
title('原始信号与加噪声信号对比');
legend('原始信号', '加噪声信号');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

% 原始信号和滤波后信号对比
subplot(3, 1, 2);
plot(t, x_sine, 'g'); hold on;
plot(t, y, 'r');
title('原始信号与滤波后信号对比');
legend('原始信号', '滤波后信号');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');

% 误差曲线
subplot(3, 1, 3);
plot(t, e);
title('滤波器误差信号');
xlabel('时间');
ylabel('误差');